Интегрирующая цепь.

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R. Напряжение на выводах резистора обозначим UR. Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение

Интеграл левой части уравнения будет равен Uout + Const.

Перенесем постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком. В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла

В итоге получилось, что выходное напряжение Uout прямопропорционально интегралу напряжения на выходах резистора, следовательно, и входному току Iin.


Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи. Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения Uout от интеграла входного Uin, необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока. Нелинейное соотношение Uin/Iin во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e—t/τ, которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ.

Здесь t – время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.

τ = RC – постоянная времени – произведение величин R и C.

Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t, тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током. Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выходах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость Uin/Iin ≈ R.

В таком случае выходное напряжение Uout будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного Uin. Чем больше величины номиналов RC, тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точней будет кривая функции. В большинстве случаев, переменная состовляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const, тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учетом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора – положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:

R = 10 kOhm, C = 1uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно. График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной состовляющей 0.5 будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её α), а интеграл константы будет линейной функцией. ʃαdx = αx + Const. Величина константы α определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ʃsinxdx = -cosx + Const. В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение. Интеграл линейного участка функции – парабола. В простейшем варианте ʃxdx = x2/2 + Const. Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Дифференцирующая цепь RC.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

Uout = RIR = RIC = RC(dUC / dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определенной степени точно. В идеале это приращение должно стремится к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах. В таких случаях номиналы RC расчитывают по экспоненте e-t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений. Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса Ti на выходе интегрирующей цепи увеличится на время 3τ. Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю. Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

5% – величина показательная. В практических расчетах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.